Normalmente:

• Microeconometria: dados em seção-cruzada e micropainéis.

• Macroeconometria: dados de séries temporais e macropainéis.

Dados obtidos a partir de observações coletadas sequencialmente ao longo do tempo.

Exemplos:

• Administração/Economia: Números de vendas anuais, índices de preços mensais, taxas de juros semanais, taxas de câmbio diárias, preços de ações tick-by-tick, …

• Meteorologia: Temperaturas máximas e mínimas diárias, índices anuais de precipitação, velocidades horárias do vento, …

• Ecologia: Abundância de plantas e animais ao longo do tempo, . . .

• Agricultura: Números anuais para produção agrícola e pecuária, erosão do solo, vendas de exportação, …

• Ciências da vida: Atividade elétrica do coração em intervalos de milissegundos, …

Notação: Observaçõs \(Y_t\), no tempo \(t = 1, 2, \dots, T\).

Distinguir:

• Série temporal univariada vs. multivariada
• Série temporal regular (equidistante) vs. irregular.
• Tempo discreto vs. contínuo.

Objetivos da análise:

• Explicação: Entender ou modelar o mecanismo estocástico subjacente a uma série.

• Previsão: Prever valores futuros de uma série com base em seu histórico ou outras mséries.

• Norma internacional emitida pela International Organization for Standardization (ISO).

• Define formatos para representar datas e horas de forma clara e unificada.

Formato de Data:

• Ano-Mês-Dia (YYYY-MM-DD)

• Exemplo: 2023-07-18

Vantagens:

• A ISO 8601 fornece um formato padronizado para datas e horas.

• Seguir esse padrão melhora a clareza e a consistência na gestão de dados.

• Tendência
• Sazonalidade
• Ciclos
• Dados Extremos (Outliers)

• A tendência refere-se ao movimento de longo prazo na série temporal, representando a direção geral dos dados ao longo do tempo.

• Ela pode ser crescente, decrescente ou estável.

• A tendência captura mudanças de nível nos dados devido a fatores subjacentes como crescimento econômico, avanços tecnológicos, mudanças demográficas, entre outros.

• Exemplo: Em uma série temporal de vendas de uma empresa ao longo de vários anos, uma tendência crescente pode indicar um aumento contínuo nas vendas.

• A sazonalidade diz respeito a flutuações que se repetem em intervalos regulares de tempo, geralmente dentro de um ano (mensal ou trimestral).

• Esses padrões são causados por fatores sazonais, como estações do ano, feriados ou eventos específicos que ocorrem periodicamente.

• A sazonalidade pode ser regular, em que as flutuaçõs se repetem de maneira constante e previsível em intervalos regulares.

• Ou irregular em que as flutuações, embora recorrentes, não ocorrem em intervalos fixos e podem variar significativamente em amplitude e forma.

• Exemplo: Um aumento nas vendas de sorvetes durante os meses de verão ou um pico nas vendas de brinquedos durante o período de Natal.

• O ciclo representa flutuações de longo prazo em torno da tendência, que não são devidas à sazonalidade e ocorrem em períodos não fixos, geralmente superiores a um ano.

• Os ciclos são influenciados por fatores econômicos, como recessões e expansões, e podem refletir fases de crescimento e declínio na economia ou em outros sistemas.

• Ciclo Regular: as flutuações cíclicas ocorrem em intervalos regulares e previsíveis. O período do ciclo é constante, resultando em um padrão repetitivo bem definido

• Ciclo Irregular: as flutuações cíclicas, embora recorrentes, ocorrem em intervalos irregulares. O período do ciclo pode variar, resultando em um padrão menos previsível e mais variável

• A primeira diferença de uma série temporal \(y_t\) é uma transformação que mede a variação entre os valores consecutivos da série.

• Matematicamente, a primeira diferença de \(y_t\) é dada por:

\[ \Delta y_t = y_t - y_{t-1} \]

Esta transformação é comumente usada para:

• Remover tendências de longo prazo em séries temporais.

• Tornar uma série estacionária, o que é uma condição importante para muitos métodos de modelagem.

Exemplo:

• Se \(y_t\) representa o PIB anual de um país, então \(\Delta y_t\) representaria o crescimento anual do PIB.

Interpretação:

• \(\Delta y_t > 0\): O valor da série temporal aumentou em relação ao período anterior.

• \(\Delta y_t < 0\): O valor da série temporal diminuiu em relação ao período anterior.

• O operador de defasagem (ou lag operator) é utilizado em séries temporais para referenciar valores passados de uma variável.

• Denotado geralmente por L, o operador de defasagem aplicado a uma variável \(y_t\) gera o valor da variável em um período anterior:

\[ L(y_t) = y_{t-1} \]

• Em termos mais gerais, para uma defasagem ( k ), temos:

\[ L^k(y_t) = y_{t-k} \]

Exemplos:

• Se temos uma série temporal de preços diários de ações \(p_t\), o operador de defasagem pode ser usado para obter o preço do dia anterior:

\[ L(p_t) = p_{t-1} \] - Cálculo de Diferenças: Podemos utilizar o operador lag para representar a primeira diferença de uma série temporal:

\[ \Delta y_t = y_t - L(y_t) = y_t - y_{t-1} \]

• A classe ts é a estrutura básica de séries temporais no R.

• Projetada para séries temporais regulares, onde as observações ocorrem em intervalos de tempo fixos (e.g., mensal, trimestral, anual).

Características principais:

• Suporte a séries temporais univariadas e multivariadas.
• Permite definir o início (start) e a frequência (frequency) da série.

Limitações:

• Funciona apenas com séries temporais regulares.

• Dificuldade em lidar com dados faltantes ou séries temporais irregulares.

• Exemplo de criação de uma série temporal trimestral:

• A classe xts (*eXtensible Time Series) é uma extensão da classe zoo, projetada para trabalhar com séries temporais irregulares e regulares**.

Características principais:

• Ideal para séries financeiras irregulares.
• Suporta múltiplas colunas, facilitando o trabalho com séries multivariadas.
• Integração com diversos pacotes de interesse em Financás, como PerformanceAnalytics e quantmod, entre outros.

Vantagens

• Flexibilidade para usar diferentes frequências e formatos.
• Manipulação eficiente de dados com lacunas ou séries irregulares.
• Recursos para armazenamento e agregação de dados intradiários.

Exemplo de criação de uma série temporal xts:

• A classe tsibble é uma estrutura moderna para séries temporais, parte do ecossistema “tidyverse”.

Características principais:

• Suporta séries temporais regulares e irregulares.
• Organiza os dados em um formato semelhante a um data frame, com colunas separadas para os índices de tempo e as variáveis.
• Integra-se ao fluxo de trabalho do “tidyverse” (e.g., dplyr, ggplot2).

Vantagens:

• Manipulação de séries temporais utilizando funções do “tidyverse”.
• Suporte para múltiplas séries temporais e dados irregulares.
• Ferramentas avançadas para análise de séries temporais com o pacote fable.

Exemplo de criação de uma série temporal tsibble:

• A autocorrelação ocorre quando os erros são correlacionadas ao longo do tempo, i.e., \(\mathop{\text{Cov}} \left( u_t,\, u_s \right) \neq 0\) para \(t\neq s\).

• Outra maneira de pensar: O choque do erro \(t\) se correlaciona com choques “próximos” em \(t-1\) e \(t+1\).

• Nota: Correlação serial e autocorrelação são a mesma coisa.

Vamos começar com um modelo muito comum: um modelo de série temporal estático cujos erros exibem autocorrelação de primeira ordem, também conhecido como .pink[AR(1)]:

\[ \begin{aligned} Y_t &= \beta_0 + \beta_1 X_t + u_t \\ u_t &= \phi u_{t-1} + \epsilon_t, \quad \epsilon_t \sim N(0, \sigma^2) \end{aligned} \] onde o termo de erro \(u_t\) segue um processo autoregressivo de primeira ordem (AR(1)):

• \(\phi\): Coeficiente de autocorrelação de primeira ordem (AR(1)).

• autocorrelação de segunda ordem (AR(2)) seria:

\[ \begin{aligned} \color{#6A5ACD}{u_t} = \color{#6A5ACD}{\rho_1 u_{t-1}} + \color{#6A5ACD}{\rho_2 u_{t-2}} + \varepsilon_t \end{aligned} \]

Um modelo/processo [AR(p)] tem uma estrutura de erros dada por:

\[ \begin{align} u_t = \sum_{j=1}^\color{#20B2AA}{p} \rho_j u_{t-j} + \varepsilon_t \end{align} \]

permitindo que o erro atual seja correlacionado com até \(\color{#20B2AA}{p}\) de suas defasagens (lags).

• A autocorrelação pode ocorrer em séries temporais, mas também em dados transversais com uma dimensão espacial (latitude e longitude das unidades observacionais).

Exemplo: Se analisarmos a lucratividade de bancos em diferentes regiões, pode haver uma correlação espacial entre os resíduos de bancos da mesma região ou de regiões vizinhas.

“Tudo está relacionado com tudo o mais, mas coisas próximas estão mais relacionadas do que coisas distantes.” Waldo Tobler (1970)

• Mais detalhes podem ser encontrados em Anselin (1988).

• Uma visão mais ‘moderna’ sobre autocorrelação é que ela apresenta uma oportunidade em vez de um problema.

• Essa visão, associada a Sargan, Hendry e Mizon, sugere que a autocorrelação nos erros surge como uma consequência de ‘dinâmica mal especificada’.

• A autocorrelação nos resíduos seria frequentemente causada por uma estrutura dinâmica de \(Y_t\) que não foi modelada.

• Em outras palavras, existe uma estrutura mais rica \(Y_T\) e mais informações na amostra sobre essa estrutura do que foi capturado por modelos tradicionais.

• O que seria necessário é um modelo dinâmico que permita essa estrutura extra em \(Y_t\).

• Também podemos escrever

\[ DW\, \approx \,2(1 - \hat {\rho }) \tag{2} \]

• Onde \(\hat{\rho}\) é o coeficiente de correlação estimado. Como \(\hat{\rho}\) é uma correlação, isso implica que \(-1 \leq \hat{\rho} \leq 1\).

• Reorganizando a equação de a partir de (2), obtemos \(0 \leq DW \leq 4\).

• Portanto, a estatística do teste de DW varia entre 0 e 4:

• \(DW \approx 0\): indica autocorrelação positiva (erros sucessivos tendem a ter o mesmo sinal).

• \(DW \approx 2\): indica ausência de autocorrelação.

• \(DW \approx 4\): indica autocorrelação negativa (erros sucessivos tendem a ter sinais opostos).

• Entretanto, existe também uma região intermediária onde não podemos rejeitar ou não rejeitar \(H_{0}\).

• Esta região existe porque a estatística do teste Durbin-Watson não possui uma distribuição amostral exata (e conhecida) para todos os casos.

• Passo 1: Estime o modelo de regressão original

\[ y_t = \beta_0 + \beta_1 X_{1t} + \beta_2 X_{2t} + \dots + \beta_k X_{kt} + u_t \]

• Passo 2: Obtenha os resíduos \(e_t\) da regressão do passo 1.

• Passo 3: Regresse os resíduos \(e_t\) contra as variáveis explicativas do modelo original e contra \(p\) defasagens dos resíduos:

\[ e_t = \alpha_0 + \alpha_1 X_{1t} + \dots + \alpha_k X_{kt} + \rho_1 e_{t-1} + \rho_2 e_{t-2} + \dots + \rho_p e_{t-p} + v_t \]

o objetivo é testar a significância dos coeficientes das defasagens dos resíduos (\(\rho_1, \dots, \rho_p\)).

• Passo 4: Cálculo da estatística de teste \(n\times R_{aux}^2\)

A estatística de teste é baseada no coeficiente de determinação \(R^2\) da regressão auxiliar. A estatística é dada por:

\[ BG = n \cdot R_{aux}^2 \]

sendo \(n\) o número de observações.

• Distribuição Amostral da Estatística de Teste:

Sob a hipótese nula \(H_0\) (ausência de autocorrelação até a ordem \(p\)), a estatística \(BG = n \cdot R_{aux}^2\) segue aproximadamente uma distribuição qui-quadrado (\(\chi^2\)) com \(p\) graus de liberdade:

\[ BG \sim \chi^2(p) \]

• Valor-p pequeno (geralmente \(< \alpha\)): Se o valor-p for menor do que o nível de significância pré-determinado \(\alpha\) (como \(0,05\) ou \(0,01\)), rejeitamos a hipótese nula \(H_0\). Isso significa que há evidências estatísticas suficientes para concluir que existe autocorrelação nos resíduos até a ordem \(p\).

• Valor-p grande (geralmente \(\geq \alpha\)): Se o valor-p for maior ou igual ao nível de significância \(\alpha\), não rejeitamos a hipótese nula \(H_0\). Isso significa que não há evidências estatísticas suficientes para concluir que existe autocorrelação nos resíduos até a ordem \(p\).

A modelagem de séries temporais se resume a duas classes de modelos.

• Modelos Estáticos: não permitem efeito persistente.

• Modelos Dinâmicos: permitem efeitos persistentes.

  • Modelos com Variáveis Explicativas Defasadas.

  • Modelos Autorregressivos com Defasagem Distribuída (ADL, Autoregressive Distributed-Lag (ADL) Models).

Os modelos estáticos assumem que a variável resposta (\(y_t\)) depende apenas do período atual:

\[ \begin{align} \text{y}_{\color{#e64173}{t}} = \beta_0 + \beta_1 \text{x}_{\color{#e64173}{t}} + u_{\color{#e64173}{t}} \end{align} \] - Aqui, devemos acreditar que \(x_t\) afeta imediatamente \(y_t\) e não afeta \(y_t\) no futuro.

• Também precisamos acreditar que os \(y_t\) atuais não dependem de \(x_t\) anteriores.

• Pode ser uma maneira muito restritiva de considerar dados de séries temporais.

• Distributed Lag Models

Esses modelos permitem que \(Y_t\) dependa da(s) variável(eis) explicativa(s) (\(X_t\)) em outros períodos:

\[ \text{Consumo}_{\color{#e64173}{t}} = \beta_0 + \beta_1 \text{Renda}_{\color{#e64173}{t}} + \beta_2 \text{Renda}_{\color{#6A5ACD}{t-1}} + \beta_3 \text{Renda}_{\color{#6A5ACD}{t-2}} + u_{\color{#e64173}{t}} \]

• Neste caso, a renda afeta imediatamente o consumo e afeta o consumo futuro.

• Em outras palavras: o consumo hoje depende da renda de hoje e das defasagens da renda (e.g: renda do mês passado ou renda do ano passado)

• Estimamos os efeitos totais somando os coeficientes das defasagens, por exemplo, \(\beta_1 + \beta_2 + \beta_3\).

• Nota: Ainda assumimos que o consumo atual não afeta o consumo futuro.

• Autoregressive Distributed-Lag (ADL) Models

• Esses modelos permitem que \(Y_t\) dependa da(s) variável(eis) explicativa(s) (\(X_t\)) e/ou da variável resposta em períodos anteriores.

\[ \begin{align} \text{Consumo}_{\color{#e64173}{t}} = &\beta_0 + \beta_1 \text{Renda}_{\color{#e64173}{t}} + \beta_2 \text{Renda}_{\color{#6A5ACD}{t-1}} + \beta_3 \text{Consumo}_{\color{#6A5ACD}{t-1}} + u_{\color{#e64173}{t}} \end{align} \]

• Nesse caso, a renda atual afeta o consumo atual e o consumo futuro.

• Além disso, o consumo atual afeta o consumo futuro — estamos permitindo defasagens na variável resposta (\(Y_{t-1}\)).

Os modelos ADL são frequentemente especificados como \(\text{ADL}(\color{#FFA500}{p},\,\color{#e64173}{q})\), onde:

• \(\color{#FFA500}{p}\) é o número (máximo) de lags para .a variável resposta.

• \(\color{#e64173}{q}\) é o número (máximo) de lags para as variáveis explicativas.

Exemplo: \(\text{ADL}(\color{#FFA500}{1},\,\color{#e64173}{0})\)

\[ \begin{aligned} \text{Consumo}_t = \beta_0 + \beta_1 \text{Renda}_t + \beta_2 \text{Consumo}_{\color{#FFA500}{t-1}} + u_t \end{aligned} \]

Exemplo: \(\text{ADL}(\color{#FFA500}{2},\,\color{#e64173}{2})\)

\[ \begin{aligned} \text{Consumo}_t = &\beta_0 + \beta_1 \text{Renda}_t + \beta_2 \text{Renda}_{\color{#e64173}{t-1}} + \beta_3 \text{Renda}_{\color{#e64173}{t-2}} \\ & + \beta_4 \text{Consumo}_{\color{#FFA500}{t-1}} + \beta_5 \text{Consumo}_{\color{#FFA500}{t-2}} + u_t \end{aligned} \]

• Inércia em \(Y_t\): Frequentemente, uma mudança no valor de uma das variáveis explicativas não afetará \(Y_t\) imediatamente durante um período de tempo, mas sim com um atraso ao longo de vários períodos de tempo. Por exemplo, o efeito de uma mudança na microestrutura do mercado ou em uma política governamental pode levar alguns meses ou mais para funcionar, pois os agentes podem inicialmente não ter certeza de quais são as implicações para a precificação dos ativos, e assim por diante.

• Overreactions: Às vezes, argumenta-se que os mercados financeiros reagem exageradamente a boas e más notícias.

• Entretanto, outros problemas com o modelo de regressão podem levar à rejeição da hipótese nula de ausência de autocorrelação, tais como:

  • Erro de especificação como o uso de uma forma funcional inadequada.
  • Omissão de variáveis relevantes que são autocorrelacionadas.
  • Sazonalidade não modelada em \(Y_t\)

• Outra forma de lidar com o problema de autocorrelação é mudar para um modelo em primeiras diferenças.

• Denote a primeira diferença de \(y_t\), ou seja, \(y_t - y_{t-1}\) como \(\Delta y_t\); de forma similar para as variáveis x, \(\Delta x_{2t} = x_{2t} - x_{2t-1}\), etc.

• O modelo agora seria:

\[ \Delta y_{t} = \beta_{1} + \beta_{2} \Delta x_{2t} + \cdots + \beta_{k} \Delta x_{kt} + u_{t} \]

• Às vezes, a mudança em \(y\) depende dos valores anteriores de \(y\) ou \(x_t\), bem como das mudanças em \(x\):

\[ \Delta y_{t} = \beta_{1} + \beta_{2} \Delta x_{2t} + \beta_{3} \Delta x_{2t-1} + \beta_{4} y_{t - 1} + u_{t} \]

Se o modelo for:

\[ \Delta y_{t} = \beta_{1} + \beta_{2} \Delta x_{2t} + \beta_{3} x_{2t - 1} + \beta_{4} y_{t - 1} + u_{t} \]

então a solução estática seria dada por:

$$ \[\begin{align*} 0 &= \beta _1 + \beta _3 x_{2t-1} + \beta _4 y_{t-1} \\ \beta _4 y_{t-1} &= - \beta _1 - \beta _3 x_{2t-1}\\ y &= - \frac{\beta _1 }{\beta _4 } - \frac{\beta _3 }{\beta _4 }x_2\\ \end{align*}\] $$

• [Especificação incorreta] com autocorrelação é muito semelhante à nossa discussão com heterocedasticidade.

• Ao especificar incorretamente um modelo, podemos criar autocorrelação.

• Omitir variáveis que são correlacionadas ao longo do tempo fará com que os erros sejam correlacionadas ao longo do tempo.

Exemplo: Suponha que o consumo dependem da renda e do consumo anterior:

\[ \begin{aligned} \text{Consumo}_{t} = \beta_0 + \beta_1 \text{Consumo}_{t-1} + \beta_2 \text{Renda}_{t} + u_t \end{aligned} \]

mas escrevemos o modelo como dependente apenas do consumo anterior, ou seja,

\[ \begin{aligned} \text{Consumo}_{t} = \beta_0 + \beta_1 \text{Consumo}_{t-1} + v_t \end{aligned} \] Assim, o erro \(v_t\) é dado por:

\[ v_t = \beta_2 \text{Renda}_t + u_t \]

que provavelmente é autocorrelacionado, já que a renda tende a ser correlacionada no tempo.

Prova:

Considere:

\[ \begin{aligned} v_{t} &= \beta_2 \text{Renda}_{t} + u_{t} \\ v_{t-1} &= \beta_2 \text{Renda}_{t-1} + u_{t-1} \end{aligned} \] Portanto:

Em geral, mesmo que \(u_t\) seja exógeno e sem autocorrelação.

• Como no caso de heterocedasticidade, Newey e West (1987) propuseram um estimaador consistente da matriz de variâncias-covariâncias dos parâmetros (i.e, dos erros-padrão) dos parâmetros na presença de heterocedasticidade e autocorrelação nos resíduos.

• O estimador de Newey-West é uma extensão do estimador de Huber-White, incorporando uma correção adicional para lidar com a autocorrelação dos erros.

• A fórmula geral do estimador da matriz de covariância de Newey-West é dada por:

\[ \hat{\Omega}_{NW} = X'(X'X)^{-1} \hat{S}_{NW} (X'X)^{-1}X \]

• \(\hat{S}_{NW}\) é a matriz de covariância ajustada que incorpora tanto a variância dos resíduos quanto as autocovariâncias dos resíduos defasados, sendo dada por:

\[ \hat{S}_{NW} = \sum_{t=1}^{T} \hat{u}_t^2 X_t X_t' + \sum_{l=1}^{q} \sum_{t=l+1}^{T} w_l (\hat{u}_t \hat{u}_{t-l} (X_t X_{t-l}' + X_{t-l} X_t')) \]

Onde:

• \(\hat{u}_t\) são os resíduos estimados,

• \(X_t\) é o vetor de regressores no período \(t\),

• \(w_l\) são os pesos de Bartlett, que decrescem linearmente com o número de defasagens \(l\) e são dados por \(w_l = 1 - \frac{l}{q+1}\),

• \(q\) é o número máximo de defasagens, escolhido pelo pesquisador.

• A primeira soma trata da heterocedasticidade, e a segunda soma corrige a autocorrelação dos resíduos, aplicando os pesos \(w_l\) para reduzir a contribuição das defasagens mais longas.

• Esse ajuste permite que a matriz de variâncias-covariâncias estimada seja robusta à presença de autocorrelação e heterocedasticidade.